Berømt og forhatt: Slik ble tallet 0 til

I 628 e.Kr. definerer den indiske matematikeren Brahmagupta tallet 0, og opphøyer dermed ingenting til et tall. Den nye kunnskapen er så forvirrende at mennesker i hele verden kommer til å hate nullen. Italienerne går så langt som til å forby den ved lov.

I 628 e.Kr. definerer den indiske matematikeren Brahmagupta tallet 0, og opphøyer dermed ingenting til et tall. Den nye kunnskapen er så forvirrende at mennesker i hele verden kommer til å hate nullen. Italienerne går så langt som til å forby den ved lov.

Shutterstock

Da den indiske astronomen og matematikeren Brahmagupta i år 628 e.Kr. la siste hånd på sitt store vitenskapelige verk Brahma Sphuta Siddhanta, visste han ikke at han ville bli både berømt og utskjelt.

Oversatt fra det indiske språket sanskrit betyr tittelen Universets åpning. Og med tiden ble boken kjent i hele verden.

Den 30 år gamle vitenskapsmannen hadde arbeidet med boken i årevis – takket være økonomisk støtte fra kong Vyaghramukha, som hersket over Brahmaguptas hjemtrakter i det nordindiske Rajasthan.

Som kongelig vitenskapsmann skulle Brah­ma­gup­ta blant annet studere himmelen og fysikkens lover. For å samle viten dro han jevnlig mellom hjembyen Bhillamala og det kongelige astronomiske observatoriet i Ujjain, 50 mil lenger sør.

En skatteoppkrever kunne umulig kreve negativ skatt, og en bonde kunne ikke eie minus tre kyr.

Sine resultater og teorier nedfelte Brahmagupta i Brahma Sphuta Siddhantas 24 kapitler utformet på vers. Verseformen skulle gjøre tekstene lettere å resitere og huske.

Verket dekket de fleste vitenskapelige disipliner – for eksempel beskrev Brahmagupta tyngdekraftens evne til å holde ting fast på jordens overflate tusen år før Newton.

Etter å ha observert lysets fall på overflaten av en gryte konkluderte Brahmagupta at solen var lenger unna jorden enn månen.

Foruten astronomi og fysikk omhandlet boken matematikk, og det var her Brahmagupta med få linjer sendte et jordskjelv gjennom vitenskapens verden.

Som den første satte det indiske geniet tall på ingenting, og han forklarte også hvordan tall kunne ha negativ verdi.

Brahmagupta fikk tall til å forsvinne

Bokens teorier var overrumplende, og ingen av Brahmaguptas samtidige fag- feller kunne få de nye regnereglene til å stemme. For eksempel beskrev Brahmagupta at null kunne inngå i regnestykker som ethvert annet tall.

«Når 0 føyes til et tall eller trekkes fra et tall, forblir tallet uendret. Et tall ganget med 0 blir 0», lød en av Brahmaguptas regler.

Men når 1+/- 0 ga 1, hvordan kunne 1 ganger 0 da gi 0? Hvor ble ettallet av? Datidens matematikere var i sjokk.

En annen ubegripelighet i den nye matematikken var bruken av positive og negative tall, som Brahmagupta kalte henholdsvis «formue» og «gjeld». Boken ga følgende eksempler på negative tall:

«En gjeld minus 0 er en gjeld», og «ganger eller deling av en gjeld med en formue resulterer i en gjeld».

Med ett slag hadde Brahmagupta gjort null til midtpunktet på en akse med positive tall på ene siden og negative tall på den andre. Men ingen vanlige mennesker forsto hvordan regnestykker kunne ende med et negativt resultat.

En skatteoppkrever kunne ikke kreve negativ skatt, og en bonde kunne ikke eie minus tre kyr. For kjøpmenn i datidens India ga et regnestykke som for eksempel 7 minus 13 verken et resultat eller mening.

Brahmaguptas negative tall var så uforståelige for vanlige folk at de i flere hundre år bare ble brukt av lærde matematikere under utregning av ligninger.

Null var et så grenseoverskridende konsept at det tok århundrer før tallet fikk sitt gjennombrudd.

Det tidligste eksempelet på null som et selvstendig tall har arkeologene funnet på en indisk steintavle fra 876 e.Kr. – altså 247 år etter at Brahmaguptas bok kom ut.

Ifølge inskripsjonen fikk den indiske byen Gwalior, 40 mil sør for Delhi, anlagt en hage som hver dag kunne produsere 50 blomsterranker til et lokalt tempel.

På steintavlen ble 50 for første gang angitt som fem og en liten, rund null.

Egyptiske skrivere måtte tegne små kunstverk når de skrev tallet 3244.

© Shutterstock

Store tall ga hodepine

Tallene fra ett til ti var lette å håndtere for alle oldtidens stolte
sivilisasjoner, men å operere med tusener var ikke bare bare.

Oldtidens store sivilisasjoner hadde alle et velutviklet tallsystem, men både kineserne, egypterne og romerne slet med store tall.

Hvis flere tusen av en vare skulle angis i et dokument, måtte skriveren arbeide overtid, for det tok sin tid å få skriblet ned tallet.

Når skriveren skulle foreta utregninger, var det heller ikke
til noen hjelp å skrive ett tall under et annet og så trekke det nederste fra det øverste.

Til det var lange tall altfor uoversiktlige.

I stedet måtte oldtidens skrivere og kjøpmenn bruke en kuleramme til å foreta beregningene på.

De tidligste nullene var kantete

Negative tall var ikke Brahmaguptas oppfinnelse, de stammet fra Kina. I verket

Ni kapitler om den matematiske kunsten, som ble samlet av en rekke lærde kinesere fra rundt år 1000 f.Kr. til 200 f.Kr., handlet kapittel åtte om bruken av negative tall i ligninger.

Allerede på 400-tallet e.Kr. skrev de første indiske matematikerne om kinesernes underlige tall, men Brahmagupta foretok kompliserte utregninger med dem.

Nullen fantes også i en primitiv form i oldtidens Babylon, lenge før Brahmagupta skrev sitt verk. Det babylonske imperiet, som lå mellom elvene Eufrat og Tigris i dagens Irak, hadde gått under nesten 1200 år før Brahmagupta levde.

Men babylonerne skrev mye ned på leirtavler og brant disse i en ovn. Dermed ble inskripsjonene – og følgelig babylonernes kunnskap – bevart for ettertiden.

Arkeologer har blant annet funnet tavler fra ca. 700 f.Kr. med babylonsk kileskrift, der null eller ingenting er markert som to skjevt vinklede kiler formet med skriverens spisse griffel.

Den babylonske nullen var imidlertid ikke et selvstendig tall, men fungerte som en plassholder.

Når for eksempel en babylonsk kjøpmann skrev 104 i regnskapet sitt, var null enten markert som en tom plass mellom to tall eller med to kiler: 1"4.

Til stor forvirring skrev babylonerne sjelden tegnet for ingenting til slutt i et tall. Så 140 ble skrevet som 14.

Det var opp til leseren av leirtavlen å utlede tallets størrelse ut fra sammenhengen.

Inderne talte på fingrene, europeerne tok med tærne

Mennesket har alltid hatt en enkel lommeregner for hånd,
nemlig fingrene. I Nord-Europa regnet folk videre på tærne.

Hendenes ti fingre gjorde det allerede i steinalderen opplagt for forfedrene våre å bruke et titallssystem når de skulle telle.

De eldste sporene av titalls- systemet stammer fra Sentral- Asia 7000 år f.Kr., men et skriftlig system med selvstendige symboler for hvert tall oppsto først rundt år 500 f.Kr. i India.

Ekspertene mener at tall-systemet vandret med folkeslag fra det sentrale Asia og videre til Europa i løpet av 400-tallet f.Kr. Nullen dukket først opp over tusen år senere.

I blant annet det keltiske Frankrike og på De britiske øyer ble også tærne tatt med. Her hadde man derfor et tyvetallssystem. På fransk ses dette for eksempel i ordet for 80, quatre-vingts, som bokstavelig talt betyr 4x20.

Måleenheter varierte fra sted til sted i Norge

Før metersystemet med konstante mål ble innført i Norge i 1875, kunne man ikke alltid stole på at man fikk det man hadde bestilt.

Laup ble brukt til å måle blant annet smør. På Østlandet tilsvarte en laup 15 kilo, mens det på Vestlandet varierte fra 16 til 20 kilo, alt etter region.

Tønne var i lange tider måleenheten for mange typer tørre og flytende varer, i tillegg til fisk. Særlig korn ble solgt på tønner. På østlandstraktene tilsvarte en tønne korn 144 liter, i Trøndelag ble man avspist med 86 liter om man bestilte en tønne korn, mens på Vestlandet fikk man 115 liter.

Ingen gadd bruke babylonernes tall

Tross denne åpenlyse ulempen var det babylonske tallsystemet bedre til bokføring og regnskap enn de tallsystemene Middelhavsområdets store sivilisasjoner brukte den gangen.

Men verken egypterne, grekerne eller romerne tok nullen til seg. Heller ikke negative tall ble viet noen større interesse.

Hos grekerne hadde tallteoretikere som for eksempel Pythagoras (580 f.Kr. – 500 f.Kr.) og Euklid (ca. 325 f.Kr. – 265 f.Kr.) konsentrert seg om geometriske beregninger av trekanter og firkanter ved hjelp av formler.

Vanlig aritmetikk, regning med pluss og minus etc., var i oldtidens Hellas overlatt til bønder og kjøpmenn som talte på fingrene, noe som bremset utviklingen av et praktisk system med skrevne tall.

Heller ikke hos romerne og egypterne ble nullen eller negative tall noe en skriver regnet med.

Bokføring – for eksempel oppgjør over et lager med handelsvarer – ble enten foretatt med en kuleramme, ved å flytte hauger av småstein eller ved å telle på fingrene.

Ville egypterne og romerne angi et stort tall, måtte de skrive mange symboler ved siden av hverandre og legge dem sammen.

I Romerriket sto for eksempel L for 50 og V for 5. Sto de to symbolene ved siden av hverandre som LV, betydde de 55. Byttet symbolene plass, skulle V trekkes fra L – og da betydde VL i stedet 45.

Ulempen med egypternes og romernes systemer var at et tall kunne bli svært langt.

Flere hundre år senere hadde indernes titallssystem med Brahmaguptas null omsider en smart løsning på problemet. Men ingen viste interesse for oppfinnelsen.

Araberne så lyset

I 773 e.Kr. mottok kalifen i Bag­dad en indisk delegasjon fra byen Ujjain. Med seg hadde in­der­ne Brahmaguptas tekster.

Særlig kalifens sønn Harun al-Rashid var begeistret for de nye, vitenskapelige ideene, og da han kom til makten i 786 e.Kr., samlet han alt av viten som fløt inn i Bagdad i et akademi kalt Visdommens hus.

En av akademiets beste hjerner var matematikeren Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (ca. 780-850).

På kalifens ordre kastet han seg over oppgaven med å oversette Brahmaguptas verk til arabisk. Tallet null var omsider på vei mot verdensberømmelse.

Spanske kjøpmenn var skeptiske overfor de nye «hedenske tallene», som arabiske tall ble kalt.

Vitenskapsmannen forsto straks hvor revolusjonerende Brahmaguptas tanker var. Null og negative tall kunne brukes til å redusere ligninger.

Det nye tegnet fikk navnet «sifr» på arabisk, som med tiden ble til ordet siffer på flere europeiske språk.

Brahmaguptas bok åpnet også al-

Khwarizmis øyne for de indiske tallene, som var lette å skrive og enklere å forstå. Tallene gikk fra ett til ni og hadde hver især et enkelt, lettlest symbol.

Med dem og den vesle nullen var det mulig å skrive et nytt matematisk språk, som besto av formler med ukjente og variabler til å løse for eksempel andregradsligninger. Al-Khwarizmi kunne dermed skape en helt ny matematisk disiplin: algebra.

Juks og bedrag førte til forbud

De nye tallene og teoriene nådde snart Europa via Spania, som araberne hadde erobret.

Spanske kjøpmenn var i begynnelsen skeptiske overfor de nye hedenske tallene, som de kalte «arabertall», men endte med å akseptere dem.

Med Brahmaguptas null og de ni andre indiske tallene var det mye lettere å avstemme et regnskap fremfor med de lange romerske tallene mange brukte.

Også italienske kjøpmenn var med på å innføre nullen i Europa. Italienerne handlet med araberne i både Midtøsten og Nord-Afrika – og innså snart at det var en stor fordel å bruke nullen og «arabertallene».

En av dem var matematikeren Leonardo Fibonacci (1170-1250), som var glad for å slippe kulerammen når han skulle regne.

Helt til 1400-tallet styrte mange europeiske skatteoppkrevere med lange romertall som de noterte i regnskapsbøker.

© Bridgeman

Fibonacci vokste opp i Nord-Afrika, der faren hans arbeidet som handels- representant for byen Pisa. Under årene i Afrika lærte gutten om nullen og de nye tallene som kom med arabiske kjøpmenn fra øst.

I sin bok om beregninger, Liber Abbaci fra 1202, skriver Fibonacci blant annet:

«Der (i Nord-Afrika, red.) ble jeg introdusert til kunsten av de ni indiske symbolene (…) en viten som snart gledet meg mer enn noe annet».

Matematikerens begeistring ble delt av Italias mange bystater, som levde av handel. Men de nye tallene gjorde det også lettere å jukse, advarte noen.

For eksempel kunne ni og seks med et pennestrøk forfalskes til null, og tallet ett kunne endres til sju.

Byen Firenze forbød derfor de nye tallene i 1299, men ingen overholdt loven, så forbudet ble opphevet i 1316. Firenzes driftige kjøpmenn fortsatte å bruke de nye tallene.

Null inntok Europas universiteter

Med renessansens inntog i 1400-tallets Europa ble gammel viten gjenoppdaget.

Matematikere jublet da de latinske oversettelsene av Al-Khwarizmi og araberens bearbeiding av Brahmaguptas tekst dukket opp på Vestens universiteter.

Algebra og Brahmaguptas 0 fikk stor suksess, mens negative tall ble avvist som ulogiske i for eksempel geometri. En kjegle kunne ikke ha et negativt volum.

Først med koordinatsystemet, som ble lansert av den franske matematikeren René Descartes (1596-1650), ble Brahmaguptas negative tall omsider populære.

Med inderens regneregler ble det mulig å innsette formler i et koordinatsystem med null som sentrum.

Men negative tall fortsatte i århundrer å volde så store problemer for enkelte at de ble lagt for hat:

«De formørker ligningenes doktriner og gjør de ting mørke som i sin natur ellers er klart innlysende og enkle», fnøs den britiske matematikeren Francis Maseres så sent som i 1758.